Μαθηματικοί αποκάλυψαν μια νέα κατηγορία “ψηφιακά εύθραυστων” πρώτων αριθμών. Αυτοί οι άπειρου μήκους πρώτοι αριθμοί μετατρέπονται σε σύνθετους -πιο γρήγορα και από τη Σταχτοπούτα τα μεσάνυχτα- με την αλλαγή οποιουδήποτε μεμονωμένου ψηφίου τους.
Ποιοι είναι οι ψηφιακά εύθραυστοι πρώτοι αριθμοί
Οι ψηφιακά εύθραυστοι πρώτοι έχουν άπειρα ψηφία και η αλλαγή οποιουδήποτε ψηφίου σε οποιαδήποτε άλλη τιμή έχει ως αποτέλεσμα έναν
σύνθετο αριθμό.Για να χρησιμοποιήσουμε ένα πιο απλό παράδειγμα, σκεφτείτε τον αριθμό 101, ο οποίος είναι πρώτος. Αν αλλάξετε τα ψηφία του σε 201, 102 ή 111, προκύπτουν τιμές που διαιρούνται με το 3 και, ως εκ τούτου, είναι σύνθετοι αριθμοί.
Το μυστήριο των άπειρων μηδενικών και οι αριθμοί που δεν έχουμε βρει ακόμα
Αν και αυτή η ιδέα μετράει δεκαετίες, μαθηματικοί από το Πανεπιστήμιο της Νότιας Καρολίνας προσδιόρισαν μια ακόμη πιο συγκεκριμένη κατηγορία ψηφιακά εύθραυστων πρώτων: τους “ευρέως ψηφιακά εύθραυστους” πρώτους αριθμούς.
Πρόκειται για πρώτους με επιπλέον, άπειρα “μηδενικά στην αρχή”, τα οποία δεν αλλάζουν την αξία του αρχικού πρώτου αριθμού, αλλά κάνουν τη διαφορά όταν αλλάζετε αυτά τα μηδενικά σε άλλα ψηφία για να ελέγξετε την ευθραυστότητά του.
Έτσι, αντί για το 101, σκεφτείτε το 000101. Αυτή η τιμή είναι πρώτος αριθμός και τα μηδενικά βρίσκονται εκεί ουσιαστικά “για το θεαθήναι”. Αν όμως αλλάξετε τα μηδενικά, μετατρέποντας για παράδειγμα το 000101 σε 100101, έχετε πλέον έναν σύνθετο αριθμό που διαιρείται με το 3.
Οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι υπάρχουν άπειροι “ευρέως ψηφιακά εύθραυστοι” πρώτοι, αλλά μέχρι στιγμής δεν μπορούν να βρουν ούτε ένα πραγματικό παράδειγμα. Έχουν ελέγξει όλους τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 1.000.000.000, προσθέτοντας μηδενικά στην αρχή και κάνοντας τους σχετικούς υπολογισμούς.
Ο καθηγητής μαθηματικών της Νότιας Καρολίνας, Michael Filaseta, και ο πρώην μεταπτυχιακός φοιτητής, Jeremiah Southwick, συνεργάστηκαν στην έρευνα για τους ευρέως ψηφιακά εύθραυστους αριθμούς, δημοσιεύοντας τα ευρήματά τους στο περιοδικό Mathematics of Computation.
Ακόμη και χωρίς συγκεκριμένα παραδείγματα, απέδειξαν ότι αυτοί οι αριθμοί υπάρχουν στο δεκαδικό σύστημα (δηλαδή σε αριθμούς που χρησιμοποιούν το σύστημα αρίθμησης 0-9, σε αντίθεση με το δυαδικό σύστημα ή “βάση 2”, που έχει μόνο το 0 και το 1) και ότι η ποσότητά τους είναι άπειρη. Η ίδια η απόδειξη βασίζεται σε ένα είδος λογικής που μοιάζει με τους απλούς κανόνες διαίρεσης, αλλά σε μια πολύ πιο ισχυρή μορφή (“στα στεροειδή”).
Συγκεκριμένες οικογένειες αριθμών, όπως εκείνες που περιέχουν το ψηφίο 9 ή εκείνες των οποίων το άθροισμα των ψηφίων δίνει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα, μπορούν να αποδειχθούν συνολικά και στη συνέχεια να καταταχθούν σε ξεχωριστά “σύνολα” (buckets). Όσο περισσότερα είναι αυτά τα σύνολα, τόσο μεγαλύτερο μέρος του γιγαντιαίου συνόλου των ακεραίων τιμών “καλύπτεται” από την απόδειξη.
Μαθηματικά για τα Μαθηματικά: Εξερευνώντας τα όρια των αριθμών
«Η κατάσταση που αφορά τους ευρέως ψηφιακά εύθραυστους πρώτους είναι, φυσικά, πιο περίπλοκη», αναφέρει ο Steve Nadis του περιοδικού Quanta. «Θα χρειαστείτε πολύ περισσότερα σύνολα, κάπου στα 1.025.000, και σε ένα από αυτά τους σύνολα, κάθε πρώτος αριθμός είναι εγγυημένο ότι θα γίνει σύνθετος αν οποιοδήποτε από τα ψηφία του, συμπεριλαμβανομένων των μηδενικών στην αρχή, αυξηθεί».
Αυτό δεν είναι το είδος των μαθηματικών που επεκτείνεται σε μια πρακτική εφαρμογή—είναι θεωρία αριθμών που λειτουργεί κυρίως για τον εαυτό της, ως ένας τρόπος εξερεύνησης των ορίων των μαθηματικών.
Ακόμη και μετά τη δημοσίευση των αποδείξεων των Filaseta και Southwick, υπάρχουν περισσότερες ειδικές περιπτώσεις ψηφιακά εύθραυστων αριθμών στα σκαριά, καθώς άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποιούν την έρευνά τους ως σημείο εκκίνησης.
Τι θα γινόταν αν παίρνατε το 101 και εισάγατε ένα 1 για να πάρετε το 1011; Τι θα γινόταν αν αφαιρούσατε ένα ψηφίο για να πάρετε το 10; Οι πιθανότητες είναι ψηφιακά απεριόριστες.
Από το enikos
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου