Μια νέα μελέτη αποκαλύπτει ότι οι αιωνόβιοι τύποι του Σρίνιβασα Ραμανουτζάν για τον υπολογισμό του π αναδύονται απροσδόκητα μέσα από σύγχρονες θεωρίες για κρίσιμα φαινόμενα, την στροβιλώδη ροή και τις μαύρες τρύπες.
Στο σχολείο, πολλοί από εμάς συναντάμε για πρώτη φορά τον άρρητο αριθμό \(\pi \) (πι) – με στρογγυλοποίηση 3,14, με άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων – όταν μαθαίνουμε πώς η περιφέρεια ενός κύκλου σχετίζεται με τη διάμετρό του. Έκτοτε, η υπολογιστική ισχύς έχει προχωρήσει πάρα πολύ, και οι σύγχρονοι υπερυπολογιστές μπορούν πλέον να
προσδιορίσουν τρισεκατομμύρια ψηφία αυτής της σταθεράς.Ερευνητές στο Κέντρο Φυσικής Υψηλών Ενεργειών (CHEP) του Ινδικού Ινστιτούτου Επιστημών (IISc) έδειξαν τώρα ότι μερικοί από τους αμιγώς μαθηματικούς τύπους που δημιουργήθηκαν πριν από έναν αιώνα για τον υπολογισμό του π συνδέονται στενά με τη σημερινή θεμελιώδη φυσική. Αυτοί οι παλιοί τύποι επανεμφανίζονται σε θεωρητικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της διαπερατότητας (percolation), της στροβιλώδους ροής (turbulence) και ορισμένων πτυχών των μαύρων τρυπών.
Το μονοπάτι οδηγεί πίσω στο 1914. Λίγο πριν αναχωρήσει από το Μαντράς για το Κέιμπριτζ, ο διάσημος Ινδός μαθηματικός Σρίνιβασα Ραμανουτζάν δημοσίευσε μια εργασία που παρουσίαζε 17 τύπους για τον υπολογισμό του π. Αυτοί οι τύποι ήταν εξαιρετικά αποτελεσματικοί, επιτρέποντας στο π να υπολογιστεί πιο γρήγορα από ό,τι με άλλες μεθόδους που ήταν διαθέσιμες εκείνη την εποχή. Παρόλο που περιείχαν μόνο έναν μικρό αριθμό μαθηματικών όρων, παρήγαγαν πολλές σωστές δεκαδικές θέσεις του π.
Με την πάροδο των ετών, απέκτησαν τόση σημασία που τώρα αποτελούν τη βάση σύγχρονων υπολογιστικών και μαθηματικών τεχνικών για την εκτίμηση του π, συμπεριλαμβανομένων των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στους σημερινούς υπερυπολογιστές. «Οι επιστήμονες έχουν υπολογίσει το π έως και τα 200 τρισεκατομμύρια ψηφία χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο που ονομάζεται αλγόριθμος Chudnovsky», λέει ο Ανίντα Σίνχα, Καθηγητής στο CHEP και ανώτερος συγγραφέας της νέας μελέτης. «Αυτοί οι αλγόριθμοι βασίζονται στην πραγματικότητα στο έργο του Ραμανουτζάν.»
Ένα βαθύτερο ερώτημα: Γιατί υπάρχουν αυτοί οι τύποι;
Το ερώτημα που έθεσαν ο Σίνχα και ο Φαϊζάν Μπατ, πρώτος συγγραφέας και πρώην διδακτορικός φοιτητής του IISc, ήταν: Γιατί να υπάρχουν καθόλου τέτοιοι εκπληκτικοί τύποι; Στην εργασία τους, αναζήτησαν μια απάντηση βασισμένη στη φυσική. «Θέλαμε να δούμε αν το σημείο εκκίνησης των τύπων του ταίριαζε φυσικά σε κάποια φυσική πραγματικότητα», λέει ο Σίνχα. «Με άλλα λόγια, υπάρχει ένας φυσικός κόσμος όπου τα μαθηματικά του Ραμανουτζάν εμφανίζονται από μόνα τους;»
Διαπίστωσαν ότι οι τύποι του Ραμανουτζάν αναδύονται φυσικά μέσα σε μια ευρεία κατηγορία θεωριών που ονομάζονται θεωρίες σύμμορφου πεδίου, συγκεκριμένα εντός των λογαριθμικών θεωριών σύμμορφου πεδίου. Οι θεωρίες σύμμορφου πεδίου περιγράφουν συστήματα με συμμετρία αναλλοίωτου κλίμακας – ουσιαστικά συστήματα που φαίνονται πανομοιότυπα ανεξάρτητα από το πόσο βαθιά κάνεις ζουμ, όπως τα φράκταλ.
Σε ένα φυσικό πλαίσιο, αυτό μπορεί να παρατηρηθεί στο κρίσιμο σημείο του νερού, μια ειδική θερμοκρασία και πίεση στην οποία τόσο η υγρή όσο και η αέρια μορφή του νερού γίνονται δυσδιάκριτες μεταξύ τους.
Σε αυτό το σημείο, το νερό παρουσιάζει συμμετρία αναλλοίωτου κλίμακας και οι ιδιότητές του μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία σύμμορφου πεδίου. Η κρίσιμη συμπεριφορά εμφανίζεται επίσης στη διαπερατότητα (πώς τα πράγματα εξαπλώνονται μέσω ενός μέσου), στην έναρξη της στροβιλώδους ροής σε ρευστά και σε ορισμένες περιγραφές των μαύρων τρυπών – φαινόμενα που μπορούν να εξηγηθούν από τις πιο συγκεκριμένες λογαριθμικές θεωρίες σύμμορφου πεδίου.
Τα Μαθηματικά του Ραμανουτζάν Επανεμφανίζονται στη Φυσική
Οι ερευνητές διαπίστωσαν ότι η μαθηματική δομή που κρύβεται κάτω από το σημείο εκκίνησης των τύπων του Ραμανουτζάν εμφανίζεται επίσης στα μαθηματικά που διέπουν αυτές τις λογαριθμικές θεωρίες σύμμορφου πεδίου. Χρησιμοποιώντας αυτή τη σύνδεση, μπόρεσαν να υπολογίσουν αποτελεσματικά ορισμένες ποσότητες σε αυτές τις θεωρίες – ποσότητες που θα μπορούσαν ενδεχομένως να τους βοηθήσουν να κατανοήσουν καλύτερα φαινόμενα όπως η στροβιλώδης ροή ή η διαπερατότητα.
Αυτό είναι παρόμοιο με τον Ραμανουτζάν που ξεκίνησε από το σημείο εκκίνησης των τύπων του και εξήγαγε αποτελεσματικά το π.
«Σε οποιοδήποτε κομμάτι όμορφων μαθηματικών, βρίσκεις σχεδόν πάντα ότι υπάρχει ένα φυσικό σύστημα το οποίο στην πραγματικότητα αντικατοπτρίζει τα μαθηματικά», λέει ο Μπατ. «Το κίνητρο του Ραμανουτζάν μπορεί να ήταν πολύ μαθηματικό, αλλά εν αγνοία του, μελετούσε επίσης μαύρες τρύπες, στροβιλώδη ροή, διαπερατότητα, όλα αυτά τα πράγματα».
Η μελέτη δείχνει ότι οι αιωνόβιοι τύποι του Ραμανουτζάν έχουν μια μέχρι τώρα κρυφή εφαρμογή στο να κάνουν τους τρέχοντες υπολογισμούς φυσικής υψηλών ενεργειών ταχύτερους και πιο διαχειρίσιμους.
Ακόμη και χωρίς αυτό, ωστόσο, ο Σίνχα και ο Μπατ λένε ότι απλά τους μπέρδεψε (κατάπληξε) η ομορφιά των μαθηματικών του Ραμανουτζάν. «Μας γοήτευσε ο τρόπος με τον οποίο μια ιδιοφυΐα που εργαζόταν στις αρχές του 20ού αιώνα στην Ινδία, χωρίς σχεδόν καμία επαφή με τη σύγχρονη φυσική, προέβλεψε δομές που τώρα είναι κεντρικές για την κατανόησή μας για το σύμπαν», λέει ο Σίνχα.
Από το enikos
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου